Fock_space

Fock space是量子场论中使用的态空间，可以满足二次量子化之后产生湮灭算符的对易和反对易关系。
关注其与Hilbert space不同的性质。

Canonical commutation relations

经典力学中的正则关系

复习一下在经典力学中学过的内容。
一个系统的正则坐标： 和正则动量 满足哈密顿方程：

$$\frac{\partial H}{\partial P_i} = \dot{Q_i}, \quad \frac{\partial H}{\partial Q_i} = -\dot{P_i}$$

, 之间应该具有的关系：

$$\left\{\begin{array}{l} \left\{P_i, P_j\right\}=\left\{Q_i, Q_j\right\}=0 \\ \left\{P_i, Q_j\right\}=\delta_{i j} \end{array}\right.$$

其中是泊松括号：.

其中隐含了系统的运动方程的形式。

量子力学中的正则对易关系

复习一下在量子力学中学过的内容。
对于代表位置和动量的自伴算符（厄米算符）：

$$\begin{array}{l} Q_i(t) = e^{i\hbar t H}Q_i e^{-i\hbar t H},\\ P_i(t) = e^{i\hbar t H}P_i e^{-i\hbar t H}. \end{array}$$

算符随时间演化的方程：

$$\frac{d}{dt} A(t) = -i/\hbar [A(t),H]$$

则对于算符，有正则对易关系(Canonical Commutation Relations, C.C.R)：

$$\left\{\begin{array}{l} \left[P_i, P_j\right]=\left[Q_i, Q_j\right]=0 \\ \left[Q_i,P_j\right]=i \hbar \delta_{i j} I \end{array}\right.$$

量子场论中的正则对易与反对易关系

在量子场论中，坐标和动量算符的指标可以有无限大自由度，例如定义在空间。则坐标与动量算符的正则对易关系变成：

$$\left\{\begin{array}{l} \left[P(x), P(y)\right]=\left[Q(x), Q(y)\right]=0 \\ \left[Q(x),P(y)\right]=i \hbar \delta(x-y) I \end{array}\right.$$

进一步定义boson的产生湮灭算符：

$$\begin{array}{l} a(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Q(x)+iP(x)) \\ a*(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(Q(x)-iP(x)) \end{array}$$

那么它们之间也有正则对易关系：

$$\left\{\begin{array}{l} {[a(x), a(y)]=\left[a^*(x), a^*(y)\right]=0} \\ {\left[a(x), a^*(y)\right]=\hbar \delta(x-y) \mathrm{I}} \end{array}\right.$$

而对于费米子，则有正则反对易关系(Canonical Anticommutation Relations, C.A.R)：

$$\left\{\begin{array}{l} {\{b(x), b(y)\}=\left\{b^*(x), b^*(y)\right\}=0} \\ {\left\{b(x), b^*(y)\right\}=\hbar \delta(x-y) \mathrm{I}} \end{array}\right.$$

Fock spaces

设单个粒子的Hilbert space是，那么个粒子的Hilbert space就是.对于任意粒子数的系统，状态空间就是.

如果在基础上，区分两种不同的粒子boson和fermion所处的subspace，再进行直和，就成为了Fock space。

对称和反对称的张量积和标量积

设有n个粒子的Hilbert space ，而每一个的一个基矢为.可以利用张量积构造n-fold空间中的基矢：

$$u_1 \circ \cdots \circ u_n=\frac{1}{n !} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} u_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(n)}$$

其中是n阶置换群（permutation group）.

Permutation group : , 上所有的双射变换构成的群就是n阶置换群。 中有个元素。
中任意一个群元素可以记作.

可以注意到这里的张量积并不是直接做乘积，而是和一个循环群联系起来了。这样的运算叫作对称张量积（symmetric tensor product）。

另外可以定义反对称张量积：

$$u_1 \wedge \cdots \wedge u_n=\frac{1}{n !} \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon_\sigma u_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(n)}$$

其中多了一个排列的符号$\varepsilon\sigma\sigma\varepsilon\sigma+1\varepsilon_\sigma-1$。

在一个n-fold Hilbert space ，利用对称张量积生成的基矢构成的子空间可以记作, 利用反对称张量积生成的基矢构成的子空间可以记作.

反对称张量积对应的两个矢量之间的标量积（内积）为：

$$\left\langle u_1 \wedge \cdots \wedge u_n, v_1 \wedge \cdots \wedge v_n\right\rangle=\frac{1}{(n !)^2} \sum_{\sigma, \tau \in S_n} \varepsilon_\sigma \varepsilon_\tau\left\langle u_{\sigma(1)}, v_{\tau(1)}\right\rangle \cdots\left\langle u_{\sigma(n)}, v_{\tau(n)}\right\rangle$$

可以推出他等于行列式的值：$\frac{1}{n!}\det (\langle ui, v_j\rangle){ij}\frac{1}{n!}$，可以定义一个反对称标量积：

$$\left\langle u_1 \wedge \cdots \wedge u_n, v_1 \wedge \cdots \wedge v_n\right\rangle_\wedge = \det (\langle u_i, v_j\rangle)_{ij}$$

Note: 在有限温场论中一个类似的结果是关于Grassman数的Gaussian积分：

相对应地，也可以定义对称标量积：

$$\left\langle u_1 \circ \cdots \circ u_n, v_1 \circ \cdots \circ v_n\right\rangle_\circ = \text{per} (\langle u_i, v_j\rangle)_{ij}$$

per的意思是permanent，它和行列式值的区别是没有负号。

Fock space

现在可以定义三种Fock spcae：

• Free (full) Fock space:

$$\Gamma_f(\mathcal{H})=\bigoplus_{n=0}^{+\infty} \mathcal{H}^{\otimes n}$$

• Symmetric (bosonic) Fock space:

$$\Gamma_s(\mathcal{H})=\bigoplus_{n=0}^{+\infty} \mathcal{H}^{\circ n}$$

• Antisymmetric (fermionic) Fock space:

$$\Gamma_a(\mathcal{H})=\bigoplus_{n=0}^{+\infty} \mathcal{H}^{\wedge n}$$

对于，Fock space就是.
对于反对称Fock space（费米子），如果单粒子空间维度是n，那么对于, .因为可以看出行列式等于0.
而对于对称的Fock space就没有这种限制。因为就算有行列为0，par列式求和也不等于0.

注意到这三种空间上对应的标量积定义也不同。

Boson and fermion coherent states

对于具体问题的讨论，coherent states的代数总是方便一些。这里复习一下对于boson和fermion的coherent states的定义，以及在coherent state表示下Fock space的一些性质。

Bosonic coherent states

考虑玻色子的产生和湮灭算符：作用于粒子数为n的态时，

$$\hat{b}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle, \quad \hat{b}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$$

粒子数算符和对易关系，

$$\hat{b}^\dagger \hat{b}|n\rangle = n|n\rangle, \quad \hat{b} \hat{b}^\dagger|n\rangle = (n+1)|n\rangle, \quad [\hat{b},\hat{b}^\dagger] = I$$

Coherent state 是湮灭算符的右侧本征态，以本征值来标定：

$$\hat{b}|\phi\rangle = \phi |\phi \rangle, \quad \langle \phi |\hat{b}^\dagger = \bar{\phi}\langle \phi |$$

其中 代表 的复共轭。用粒子数基矢写出 就是:

$$|\phi \rangle = \sum_{n=0}^\infty \frac{\phi^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty \frac{\phi^n}{n!} (\hat{b}^\dagger)^n |0\rangle = e^{\phi \hat{b}^\dagger}|0\rangle$$

coherent states 互不正交，它们的内积为：

$$\langle \phi |\phi'\rangle = \sum_{n,n'=0}^\infty \frac{\bar \phi^n\phi^{'n'}}{\sqrt{n!n'!}}\langle n|n'\rangle = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\bar\phi\phi')^n}{n!} = e^{\bar \phi \phi'}$$

Fermionic coherent states

定义fermion的coherent state需要利用Grassman algebra。
因为Pauli不相容原理，一个site粒子数只能是0或者1.
fermion产生湮灭算符：

$$\hat{c}|0\rangle = 0, \quad \hat c |1\rangle = |0\rangle, \quad \hat c^\dagger |0\rangle = |1\rangle, \quad \hat c^\dagger |1\rangle = 0.$$

粒子数算符和反对易关系：

$$\hat c^\dagger \hat c |n\rangle = n|n\rangle, \quad \{\hat c, \hat c^\dagger\} = I, \quad \hat c^2=(\hat c^\dagger)^2 = 0.$$

引入反对易的Grassman数 :

$$\eta \eta' = -\eta'\eta, \quad \eta^2 = 0, \quad f(\eta) = f_0+f_1\eta.$$

注意到对于任意Grassman数的函数，幂级数展开二阶项及以上都为0了，因为。

可以定义的导数和积分操作：（略，在有限温场论中也详细学过）

还可以规定和fermion产生湮灭算符的反对易关系：

$$\{\eta,\hat c\} = \{\eta,\hat c^\dagger\} = 0$$

这时我们就可以写出fermion的coherent state：

$$|\eta\rangle \equiv |0\rangle -\eta|1\rangle = (1-\eta \hat c^\dagger)|0\rangle = e^{-\eta \hat c^\dagger}|0\rangle.$$

验证其满足coherent state的条件，是fermion湮灭算符本征值为 的本征态：

$$\hat c|\eta \rangle = -\hat c \eta|1\rangle = \eta |0\rangle = \eta |\eta\rangle$$

两个coherent states的内积：

$$\langle \eta |\eta'\rangle = (\langle 0|-\langle 1|\bar \eta)(|0\rangle -\eta'|1\rangle) = 1+\bar \eta\eta' = e^{\bar \eta\eta'}$$

注意这里的 是另一个Grassman number，和 之间没什么关系。

Fock space as an exponential of Hilbert space

上面讨论的是用产生湮灭算符表示的coherent state。现在我们可以回到用Hilbert基矢的表示上来。

对于对称态（玻色子态），有coherent vector：

$$\varepsilon(u) = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^{\otimes n}}{n!}$$

类似地，在Fock space 中，两个coherent vector的内积：

$$\langle \varepsilon(u),\varepsilon(v) \rangle =e^{\langle u, v\rangle}$$

• 指数性质：设两个Hilbert spcae, , 可以证明有一个从 到 的unitary 同构映射。

因此，我们说Fock space可以看做是Hilbert space 的一个“指数函数”。